3GTT Like n°28

UAA2 – Triangle rectangle, T2.1 Démontrer des propriétés géométriques en utilisant le théorème de Pythagore, les propriétés métriques et les relations trigonométriques du triangle rectangle (transférer)

ABC est un triangle quelconque.

AD est une hauteur du triangle ABC.

Démontre que |AC|² = |AB|² – |BD|² + |CD|²

Voir la solution
Hypothèse :
ABC est un triangle quelconque.
AD est une hauteur du triangle ABC.

Thèse :
|AC|² = |AB|² – |BD|² + |CD|²

Démonstration :

AD est une hauteur du triangle ABC donc AD est perpendiculaire à BC.
Le triangle ABD est rectangle en D donc |AB|² = |BD|² + |AD|² (th. de Pythagore).
Le triangle ADC est rectangle en D donc |AC|² = |AD|² + |CD|² (th. de Pythagore).

|AB|² = |BD|² + |AD|² donc |AD|² = |AB|² – |BD|² 

Remplaçons dans |AC|² = |AD|² + |CD|² 
|AC|² = |AB|² – |BD|²  + |CD|² 

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