Par rapport aux mathématiques élémentaires (comme l’arithmétique), résoudre des problèmes d’algèbre oblige souvent les élèves à réfléchir de manière plus abstraite. Le raisonnement algébrique exige que les élèves traitent plusieurs informations complexes simultanément, ce qui peut limiter leur capacité à initier de nouveaux apprentissages.
Utiliser des problèmes résolus pour encourager les élèves à analyser le raisonnement algébrique et les stratégies peut minimiser le fardeau du raisonnement abstrait en permettant aux étudiants à la fois d’analyser le problème et les étapes de résolution sans exécuter chaque étape. L’analyse et la discussion de problèmes résolus peuvent aussi aider les élèves à développer la compréhension des processus logiques utilisés pour résoudre les problèmes d’algèbre. Les discussions liées à l’utilisation de problèmes résolus incomplets ou incorrects peuvent encourager les élèves à penser de façon critique (ces discussions se font en classe entière, petit groupe ou binôme).
Ce type de pratique est étudiée dans la méta-analyse de Hattie :
- effet de la discussion en classe – 0.88 (7e rang);
- effet des problèmes résolus – 0.61 (25e rang).
Exemple 1 :
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Quelques exemples de questions pour analyser la résolution :
- Quelles sont les étapes de résolution de l’exercice ? Pourquoi les réaliser dans cet ordre ? Pourrait-on travailler dans un ordre différent ?
- L’exercice aurait-il pu être résolu avec moins d’étapes ?
- Pensez-vous qu’il existe une autre manière de résoudre cet exercice ?
- Cette stratégie fonctionnera-t-elle toujours ? Pourquoi ?
- Quels sont les autres exercices pour lesquels cette stratégie pourrait fonctionner ?
- Comment pouvons-nous modifier l’exercice pour que cette stratégie ne fonctionne pas ?
- Comment améliorer la résolution pour la rendre plus claire ?
- Quels autres concepts mathématiques sont liés à cet exercice ?
- Etc.
Exemple 2 :
| Résolution d’Anne (correcte) | Résolution de Jean (incorrecte) |
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| Solution : (8;6) | Solution : (-4;-12) |
- Enseignant : Qu’est-ce que Jean a fait correctement ?
- Élève 1 : Il semble que la substitution soit correcte après que x ait été trouvé.
- E : Qu’est-ce qui vous laisse penser que Jean a substitué correctement ?
- E2 : Il subsitue x par -4 dans la première équation et recherche y.
- E : C’est bien mais où est l’erreur dans la résolution de Jean ? Que n’a-t’il pas compris ?
- E3 : Il a trouvé une mauvaise solution pour x.
- E : Les termes en x et y sont-ils identiques chez Anne et Jean ?
- E2 : Les termes en y sont les mêmes.
- E : Si l’un des termes est le même, quelle est la première étape efficace pour résoudre ce système d’équations ?
- E3: Soustraire les équations.
- E : Donc, en regardant la solution incorrecte, et en réfléchissant à ce dont nous venons de discuter, quelle est l’erreur dans la solution incorrecte ?
- E1 : Jimmy a ajouté les deux équations l’une à l’autre, mais il a soustrait par erreur le terme en y au lieu de l’ajouter.
- E : C’est correct, et qu’a fait Anne ?
- E3 : Elle a soustrait correctement les deux équations.
- E : Comment pouvons-nous vérifier la solution d’Anne ?
- E2 : Nous pouvons substituer la solution dans les deux équations.
Sources : US Department of Education « Teaching Strategies for Improving Algebra Knowledge in Middle and High School Students »