Progression d’apprentissage des équations du premier degré à une inconnue (1)

La résolution des équations constitue une étape importante dans le cursus scolaire des élèves du premier degré de l’Enseignement secondaire. Or, pour un grand nombre de débutants, plusieurs difficultés apparaissent dans la compréhension des concepts de base et des techniques de résolution. Certains en arrivent à appliquer aveuglément des procédures dont ils ne maîtrisent en aucune manière les fondements (inconnue, solution, sens de l’égalité, sens de la lettre, etc.).

Intuitivement, l’élève peut résoudre des équations :

  • Par substitution, il est capable de trouver comme solution 15 à l’équation \displaystyle x-5=10.
    Dans le fondamental, il a déjà été amené à solutionner des exercices du genre \displaystyle ? - 5 = 10.
  • Par recouvrement, il peut trouver la solution de \displaystyle 10 \cdot (x-5)=150 en résolvant \displaystyle x-5=15.

Pour aller plus loin, l’élève doit intégrer :

  • Le sens de l’égalité : au sortir du fondamental, l’élève n’a qu’une conception arithmétique du signe d’égalité. Le signe « = » a été utilisé uniquement pour présenter le résultat d’un calcul.
    \displaystyle 3 \cdot 7 + 2 = 21 + 2 =3.
    Pour preuve, il n’est pas rare d’observer \displaystyle 3 \cdot 7 + 2 = 21 = 21 + 2 = 23.
  • Le sens de la lettre : dans les équations, la lettre représente un nombre inconnu alors que dans le calcul algébrique, elle est le représentant quelconque d’un ensemble de nombres.
  • La signification de « solution d’une équation ».

Un plan d’action sur deux ans :

  • 1e année du secondaire :
    • utiliser les graphes;
    • bien installer les sens de la lettre et de l’égalité;
    • aborder uniquement des équations avec des nombres naturels ou des nombres entiers du type \displaystyle ax=c,  \displaystyle x+b=c et \displaystyle ax+b=c.
    • contrairement aux idées reçues, ne pas débuter par de la résolution de problèmes;
    • ne pas formaliser.
  • 2e année du secondaire :
    • passer du graphe à une résolution plus classique;
    • ne jamais parler de « changement de membre »;
    • aborder les équations avec des nombres entiers, des fractions, suppression de parenthèses et distributivité au moment opportun.

Dans le prochain article, nous proposerons des situations et exercices répondant à ces critères.

Sources : 

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