Progression d’apprentissage des équations du premier degré à une inconnue (2)

Dans la première partie de l’article, nous proposions un plan d’action sur deux ans. Voici quelques exercices illustrant la résolution d’équation en 1e année du secondaire.

Installer le sens de l’égalité :

Les exercices suivants permettent d’installer le sens de l’égalité chez l’élèves.

1) Les égalités suivantes sont-elles vraies ?

  • 1 + 5 = 8
  • 15 - 6 = 9
  • 2 \times 8 = 16
  • 32 : 8 = 5
  • \frac{16}{4} = 6

2) Remplace les … en utilisant les symboles = et ≠ pour indiquer si les écritures ci-dessous sont vraies ou fausses :

  • 2 + 9 \ldots 11
  • 4 + 3 \ldots (3 + 1) + 5
  • 3 \times 7 \ldots 3 \times (5 + 2)
  • 14 : 2 \ldots ( 10 + 4 ) : 3
  • 5 \times 4 : 3 \ldots 9 : 3
  • 11 - 7 \ldots (5+6)-(4+3)
  • 6 \times 5 : 3 \ldots 30 : ( 2 + 1 )
  • (9-7):2 \ldots 2:1
  • 13 + 3 \ldots ( 7 + 5) + 3

3) Remplace les … par des nombres naturels qui garantissent que les égalités sont vraies

  • 2 + 6 = 2 + \ldots
  • 7 + 5 = (4 + 3) + \ldots
  • 3 \times 5 = 3 \ldots \quad \ldots
  • 9 - 1 = (8 + 1) \ldots \quad \ldots
  • (2 \times 6) : 4 = \ldots : (2 + 2)

4) Remplace les … par des nombres naturels qui garantissent que les égalités sont vraies

36=36
4 \times \ldots=36
4 \times (7+\ldots)=36
4 \times (7+\ldots)=\ldots \times 6
4 \times (7+\ldots)=(5+\ldots) \times 6
4 \times (7+\ldots)=(5+\ldots) \times (\ldots+2)

64=64
\ldots \times 4=64
(18 - \ldots) \times 4=64
(18 - \ldots) \times 4=(5+\ldots) \times 8
(18 - \ldots) \times 4=(5+\ldots) \times (\ldots+2)

4) Remplace les … par les nombres naturels et les signes d’opération qui garantissent que les égalités sont vraies

  • \ldots - 4 = 3 \times 6
  • 14 : 2 = 3 \ldots \quad \ldots
  • 15 \ldots \quad \ldots = 2 + 1
  • 24 : \ldots = 5 + \ldots
  • 3+7=14 \ldots \quad \ldots
  • (3 \times 13)+6=(4 \times 12) \ldots \quad \ldots

Traduire en équation (sens de la lettre)

Les exercices suivants permettent d’entraîner l’élève à la traduction de problèmes en équation.

1) Si x représente un nombre, comment écrire les expressions suivantes :

  • Le triple de x
  • La moitié de x
  • La somme de 8 et de x
  • La différence de x et de 5
  • Le double de la différence de x et de 7
  • Le tiers de la somme de 9 et de x

2) Associe chaque énnoncé de problème à une équation qui permet de le résoudre.

a. Alice affiche un nombre sur sa calculette. Elle le multiplie par 3 puis enlève 1. La calculatrice affiche 20. Quel est le nombre affiché au départ ?
b. Un père dispose de 1600 € pour ses trois enfants. Il veut que l’aîné ait 200 € de plus que le second et que le second ait 100 € de plus que le dernier. Quelle somme doit il donner à chacun ?
c. Un jardin a une forme rectangulaire. Il a vingt mètres de moins dans la largeur que dans la longueur. La longueur totale de la clôture qui l’entoure est 240 m. Quelle est l’aire de ce jardin ?
d. Trouver quatre nombres entiers consécutifs dont la somme soit 1706.

1. 4x-40=240
2. x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=1706
3. 3x-=20
4. x+(x+100)+(x+300)=1600

Utilisation des graphes pour résoudre les équations du type \displaystyle ax=c,  \displaystyle x+b=c et \displaystyle ax+b=c.

L’idée est d’utiliser les graphes suivants pour résoudre les équations et de NE PAS formaliser la résolution de l’équation sous forme littérale classique.

Cette manière de faire permet d’installer progressivement les opérations symétriques et laisser de la place à l’intuition des élèves. Ensuite, lorsque l’on introduira les équations du type \displaystyle ax+b=cx+d (en 2e année), on attirera l’attention des élèves sur le fait que la résolution intuitive et par graphe n’est plus possible amenant alors à formaliser !

3x=18

 

 

 

 

x-5=13

 

 

 

 

5x+2=27

 

 

 

 

 

En 1e année, nous n’allons pas plus loin…

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